数量类盈亏问题常用知识点梳理

　　盈亏问题的标准形式为给出某样品的两种分配方式和对应的分配结果，求样品的数量或分配的对象数。
　　该类问题可以采用方程法求解，也可利用公式或转化后利用公式求解。
　　由于分配会出现正好分完、有剩余和不足三种情况，因此，两种不同的分配方式会出现不同的组合。
　　表1盈亏问题常用公式

盈亏组合	公式
一盈一尽	盈数÷两次分配的个数差＝对象数
一亏一尽	亏数÷两次分配的个数差＝对象数
一盈一亏	（盈数＋亏数）÷两次分配的个数差＝对象数
两次均盈	（大盈数－小盈数）÷两次分配的个数差＝对象数
两次均亏	（大亏数－小亏数）÷两次分配的个数差＝对象数

　　典型例题集锦
　　【例1】老猴子给小猴子分梨。若每只猴子分6个梨，则多出12个梨。若每只猴子分7个梨，则还差11个梨，问一共有多少个梨?()
　　A.120 B.145
　　C.150 D.130
　　【答案】C
　　【考点】盈亏问题之“一盈一亏”
　　【解析】根据公式，猴子数=(12+11)÷(7-6)=23只，则梨子数=6×23+12=150个。因此，答案选择C选项。
　　【点拨】本题为标准的盈亏问题。直接利用公式即可。
　　【例2】北京十九中某班同学去划船。若增加一条船，正好每条船可以坐8人;如果减少一条船，每船恰好可以坐12人，问这个班共有几名同学?()
　　A.38 B.42
　　C.48 D.56
　　【答案】C
　　【考点】盈亏问题之“一盈一亏”
　　【解析】本题需要转化。若不增加船，则每船8人，多8人;若不减少船，则每船12人，少12人，属于“一盈一亏”。根据公式：船数=(8+12)÷(12-8)=5只，则人数=8×(5+1)=48人。因此，答案选择C选项。
　　【点拨】本题属于盈亏问题的变形，需要转化后，再利用公式求解。
　　【例3】一个不到50人的班级载种一批树苗。若每个人分配n棵树苗，则剩余38棵。若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵树苗。那么这个班级共有多少棵树苗?()
　　A.116 B.188
　　C.278 D.366
　　【答案】D
　　【考点】盈亏问题之“一盈一亏”
　　【解析】根据公式，人数=(38+3)÷(9-n)=41÷(9-n)<50，因为41是质数，则9-n=1，n=8，则树苗数=8×41+38=366棵。因此，答案选择D选项。
　　【点拨】本题不能直接利用公式求解，需要借助数字特性求解。
　　【例4】某学校有一批树苗要栽种在主路两旁。每隔5米载一棵。已知每个学生栽4棵树，则有202棵树没有人栽。若每个学生栽5棵树，则有348人可以少栽一棵。问主路共有多少米?()
　　A.6005 B.6000
　　C.8005 D.8000
　　【答案】B
　　【考点】植树问题和盈亏问题
　　【解析】根据盈亏问题的公式，学生数=(202+348)÷(5-4)=550个，树苗数=550×4+202=2402棵，每边栽树1201棵，则路长=(1201-1)×5=6000棵。因此，答案选择B选项。
　　【点拨】盈亏问题与其他题目的求解，可先根据盈亏问题的公式求出相应的量，再继续求解。
　　小结：
　　1.盈亏问题核心是抓住两次盈亏量的变化，利用对应的公式求解。
　　2.有些题目不是标准的盈亏问题，可进行转化后再利用公式求解。
　　3.若题目较复杂，不好直接利用公式，可利用方程法求解。
　　4.盈亏问题可以与其他题型复合，可结合数字特性等进行求解。